условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; знаменатели не равны нулю: log₃x ≠ 0 и 1 − log₃²(3x) ≠ 0.
ОДЗ
t = 0 ⟺ x = 1; t = −2 ⟺ x = 1/9 — эти точки выколоты.
шаг 2.Замена t = log₃ x и упрощение
Раскрываем логарифмы через t Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
; знаменатель сворачивается и первая дробь упрощается., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Сокращение (t + 2) допустимо: t = −2 (x = 1/9) исключено ОДЗ — не теряем корень.
шаг 3.Решаем неравенство в t
Подставляем обе дроби, приводим подобные и решаем.
−2 < 0, поэтому −2/t ≥ 0 ⟺ знаменатель t < 0.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаемся к x: t < 0, t ≠ −2. Основание 3 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.t < 0 ⟺ 0 < x < 1; исключаем t = −2, то есть x = 1/9.