условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Множитель x² + 9 > 0 знак не меняет, поэтому ОДЗ определяется остальными множителями.
ОДЗ
По теореме Виета для x² + x − 6 = 0: сумма корней должна равняться −1, произведение — −6. Подбираем 2 и −3, отсюда x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2). Пересечение трёх условий даёт x > 2: левый луч второго условия отсекается требованием x > 0.
шаг 2.Сворачиваем правую часть
Правую часть собираем в один логарифм: 2 = log₃9 Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Основание 3 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— сравниваем аргументы.шаг 3.Сокращаем и упрощаем
Раскладываем квадратный трёхчлен на множители, делим на (x − 2) > 0 и умножаем на x > 0.
После деления на (x − 2) и умножения на x остаётся x³ + 9x ≤ 9x + 27, то есть x³ ≤ 27.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Из x³ ≤ 27 извлекаем кубический корень и пересекаем с ОДЗ x > 2.
Граница x = 2 выколота по ОДЗ; x = 3 закрашена (нестрогое ≤).