условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все логарифмы требуют x > 0. Основание log_x(x/3) не равно 1, а log₃x в знаменателе не равен нулю — оба дают x ≠ 1.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
По формуле перехода к основанию 3Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
раскрываем log_x(x/3), переносим всё влево и группируем слагаемые с log₅x., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₅x − log₅x·(2 − log₃x)/log₃x = log₅x·(2log₃x − 2)/log₃x = 2log₅x·(log₃x − 1)/log₃x; константа 1 − 1/log₃x = (log₃x − 1)/log₃x.
шаг 3.Метод интервалов в x
Приравниваем каждый множитель к нулю: нули числителя x = 1/√5 и x = 3 закрашены (нестрогое ≤), нуль знаменателя x = 1 выколот.
Пробная точка x = 2: (2log₅2 + 1) > 0, (log₃2 − 1) < 0, log₃2 > 0 → произведение < 0 ✓. Решение: 0 < x ≤ 1/√5 или 1 < x ≤ 3.