условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы всех трёх логарифмов положительны. Раскладываем трёхчлены на множители и решаем каждое условие на своей оси.
ОДЗ
Пересечение (−∞; −5) ∪ (0; +∞), (0; +∞) и (−∞; −5) ∪ (1; +∞) даёт x > 1.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Логарифм по основанию 0,5 и свободный член приводим к основанию 2, затем сворачиваем сумму и разность логарифмов слева в один логарифм Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Дробь под логарифмом сокращается. Основание 2 > 1, возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм.Сокращение (x² + 5x)/x = x + 5 допустимо: x = 0 исключено ОДЗ (x > 1). Пробная точка x = 0: (0 − 17)(0 + 5) = −85 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤): −5 ≤ x ≤ 17.
шаг 3.Пересечение с ОДЗ
Отрезок −5 ≤ x ≤ 17 пересекаем с ОДЗ x > 1.
Левый конец −5 вне ОДЗ; остаётся (1; 17]. Точка x = 1 выколота по ОДЗ.