условие
шаг 1.Область допустимых значений
Степень 5^{−x²} ≤ 1 < 5, поэтому 5^{−x²} − 5 < 0 при любом x. Чтобы оба логарифма слева были определены, аргументы должны быть положительны, а это требует, чтобы вторая скобка 5^{−x²+16} − 1 тоже была отрицательной.
При x² > 16 обе скобки (5^{−x²} − 5) и (5^{−x²+16} − 1) отрицательны, значит и их произведение, и их частное положительны — оба логарифма определены.
шаг 2.Свёртываем левую часть
Сумма логарифмов — логарифм произведения. Произведение скобок на их частное даёт точный квадрат первой скобки: вторые множители (5^{−x²+16} − 1) сокращаются.
log₇A + log₇B = log₇(AB); множитель (5^{−x²+16} − 1) стоит и в числителе, и в знаменателе — сокращается.
шаг 3.Снимаем логарифм
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 4.Сравниваем модули скобок
На ОДЗ x² > 16. Тогда 5^{−x²} < 5^{−16} (очень малая величина), поэтому 5 − 5^{−x²} близко к 5. Аналогично 13 − x² < −3, значит 5^{13−x²} < 5^{−3} мало, и 4 − 5^{13−x²} близко к 4. Сравнение квадратов сводится к сравнению модулей.
Обе скобки 5 − 5^{−x²} > 0 и 4 − 5^{13−x²} > 0, поэтому из неравенства квадратов следует такое же неравенство самих скобок.
шаг 5.Неравенство выполнено на всём ОДЗ
Правая часть 5^{−x²} − 5^{13−x²} — это 5^{−x²}(1 − 5¹³) < 0 (так как 5¹³ > 1). Отрицательная величина всегда меньше 1, поэтому неравенство верно для любого x из ОДЗ. Новых ограничений нет — ответом служит само ОДЗ x² > 16.