Задача 10151222 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Переносим единицу влево, сводим к одной дроби и записываем x = log₃3ˣ — числитель становится разностью логарифмов одного основания. Дальше — метод рационализации: log_a f − log_a g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ② на аргумент логарифма.

\frac{\log_{3} (4 \cdot 3^{x - 1} - 1)}{x} - 1 \geq 0

\frac{\log_{3} (4 \cdot 3^{x - 1} - 1) - x}{x} \geq 0

\frac{\log_{3} (4 \cdot 3^{x - 1} - 1) - \log_{3} 3^{x}}{x} \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} \frac{(3 - 1) ((4 \cdot 3^{x - 1} - 1) - 3^{x})}{x} \geq 0 & 1 \\ 4 \cdot 3^{x - 1} - 1 > 0 & 2 \end{matrix}

Ограничение x ≠ 0 отдельной строкой не выписываем — это точка разрыва дроби ①, она отметится выколотой точкой на её оси.

шаг 2.Неравенство ①

Множитель (3 − 1) = 2 положителен и знак дроби не меняет. Разность в числителе сворачивается в одну степень, и получается разность степеней одного основания — к ней снова применим метод рационализации.

1 \frac{(3 - 1) ((4 \cdot 3^{x - 1} - 1) - 3^{x})}{x} \geq 0

4 \cdot 3^{x - 1} - 3^{x} = 4 \cdot 3^{x - 1} - 3 \cdot 3^{x - 1} = 3^{x - 1}

\frac{2 (3^{x - 1} - 1)}{x} \geq 0 | : 2

\frac{3^{x - 1} - 1}{x} \geq 0

3^{x - 1} - 3^{0} \sim (3 - 1) ((x - 1) - 0) = 2 (x - 1)

\frac{2 (x - 1)}{x} \geq 0 | : 2

\frac{x - 1}{x} \geq 0

Пробная точка x = 0,5: (0,5 − 1)/0,5 = −1 < 0 — знак «−» между 0 и 1, дальше чередование. Корень числителя x = 1 закрашен (нестрогое ≥), точка разрыва x = 0 выколота. Решение ①: (−∞; 0) ∪ [1; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — аргумент логарифма положителен. Основание степени 3 > 1, функция 3ᵗ возрастает, поэтому переход к показателям степени сохраняет знак.

2 4 \cdot 3^{x - 1} - 1 > 0

3^{x - 1} > \frac{1}{4}

3^{x - 1} > 3^{\log_{3} \frac{1}{4}}

x - 1 > \log_{3} \frac{1}{4}

x > 1 + \log_{3} \frac{1}{4}

x > \log_{3} \frac{3}{4}

Число 1/4 не является степенью тройки, поэтому граница записывается логарифмом. Единица — это log₃3, поэтому 1 + log₃(1/4) = log₃3 + log₃(1/4) = log₃(3/4) — число отрицательное, ведь 3/4 < 1.

шаг 4.Пересечение

Сводим оси ① и ② в одну. Ограничение ② обрезает левый луч ①, правый луч остаётся целиком.

Левый луч ① уходит в −∞, но ② оставляет от него только промежуток от log₃(3/4) до нуля. Обе границы выколоты: ноль — точка разрыва дроби ①, log₃(3/4) — строгое ограничение ОДЗ.

условие

шаг 1.Метод рационализации

шаг 2.Неравенство ①

шаг 3.Ограничение ②

шаг 4.Пересечение

ответ