условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифма положителен: 2 − 3^{−x} > 0, то есть 3^{−x} < 2.
ОДЗ
−log₃2 = log₃(1/2) ≈ −0,63.
шаг 2.Собираем правую часть под логарифм
Записываем x + 1 = log₃3^{x+1} и сворачиваем правую часть в один логарифм по основанию 3. Основание 3 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем, сохраняя знак.3^{x+1} = 3·3ˣ, поэтому 3^{x+1}/4 = 3·3ˣ/4.
шаг 3.Замена t = 3ˣ
Обозначим t = 3ˣ, причём t > 0. Тогда 3^{−x} = 1/t. Умножаем неравенство на t > 0 и приводим к квадратному.
шаг 4.Метод интервалов в t
Парабола ветвями вверх, положительна вне корнейКогда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.. Получаем t < 2/3 или t > 2.
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
Пробная точка t = 1: 3(1 − 2)(1 − 2/3) = −1 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Строгое неравенство — оба корня выколоты. Выноска от нуля — условие замены t = 3ˣ > 0: левый луч превращается в 0 < t < 2/3.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x: 3ˣ < 2/3 или 3ˣ > 2. Основание степени 3 > 1, функция 3ˣ возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— переходим к показателям степени логарифмированием. Пересекаем с ОДЗ x > log₃(1/2).log₃(1/2) ≈ −0,63 < log₃(2/3) ≈ −0,37, поэтому левый кусок ответа — интервал между ними. Ветка 3ˣ < 2/3 даёт x < log₃(2/3), а ОДЗ обрезает её снизу значением log₃(1/2).