Задача 10150890 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{2} (2 x^{2} - 13 x + 20) - 1}{\log_{3} (x + 7)} \leq 0

шаг 1.Метод рационализации

Числитель и знаменатель — разности логарифмов. Применяем метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ② и ③.

\frac{\log_{2} (2 x^{2} - 13 x + 20) - \log_{2} 2}{\log_{3} (x + 7) - \log_{3} 1} \leq 0

⟺ {\begin{matrix} \frac{(2 - 1) ((2 x^{2} - 13 x + 20) - 2)}{(3 - 1) ((x + 7) - 1)} \leq 0 & 1 \\ 2 x^{2} - 13 x + 20 > 0 & 2 \\ x + 7 > 0 & 3 \end{matrix}

Ограничения ② и ③ — это ОДЗ (аргументы логарифмов положительны). Дальше решаем ①, ② и ③ по очереди, в конце берём пересечение.

шаг 2.Неравенство ①

Упрощаем ①: (2 − 1) = 1, (3 − 1) = 2 (множитель 2 > 0 на знак дроби не влияет: домножаем обе части неравенства на 2 — знак сохраняется, а в знаменателе 2 сокращается). Числитель раскладываем через дискриминант, затем решаем методом интервалов.

1 \frac{(2 - 1) ((2 x^{2} - 13 x + 20) - 2)}{(3 - 1) ((x + 7) - 1)} \leq 0

\frac{2 x^{2} - 13 x + 18}{2 (x + 6)} \leq 0 | \cdot 2

\frac{2 x^{2} - 13 x + 18}{x + 6} \leq 0

2 x^{2} - 13 x + 18 = 0

D = 13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 169 - 144 = 25

x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{13 \pm 5}{4} \begin{matrix} = \frac{9}{2} \\ = 2 \end{matrix}

2 x^{2} - 13 x + 18 = 2 (x - 2) (x - \frac{9}{2})

\frac{2 (x - 2) (x - \frac{9}{2})}{x + 6} \leq 0

Нули числителя x = 2 и x = 9/2 закрашены (нестрогое ≤), точка разрыва x = −6 выколота. Пробная точка x = 0 на интервале (−6; 2): 2(0 − 2)(0 − 9/2)/(0 + 6) = 3 > 0 — не подходит; через нечётные корни знак чередуется. Решение ①: (−∞; −6) ∪ [2; 9/2].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — аргумент первого логарифма положителен. Квадратный трёхчлен раскладываем через дискриминант и решаем методом интервалов.

2 2 x^{2} - 13 x + 20 > 0

D = 13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 169 - 160 = 9

x = \frac{13 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{13 \pm 3}{4} \begin{matrix} = 4 \\ = \frac{5}{2} \end{matrix}

2 (x - \frac{5}{2}) (x - 4) > 0

Корни 5/2 и 4 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх: 2x² − 13x + 20 > 0 вне корней, то есть x < 5/2 или x > 4.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент второго логарифма положителен.

3 x + 7 > 0

x > - 7

Линейное неравенство: x + 7 > 0 ⟺ x > −7.

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну — берём пересечение решений ①, ② и ③. Границы ОДЗ 5/2, 4 и −7 знак дроби не меняют, лишь обрезают решение: интервал (5/2; 4) выпадает.

ответ

x \in (- 7; - 6) \cup [2; \frac{5}{2}) \cup (4; \frac{9}{2}]

$\frac{\log_{2} (2 x^{2} - 17 x + 35) - 1}{\log_{7} (x + 6)} \leq 0$