условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба аргумента логарифмов положительны. Первое условие — квадратный трёхчлен x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1) > 0, метод интервалов даёт x вне корней −2 и 1. Вторая дробь (x + 2)/(x − 1) > 0 равносильна (x + 2)(x − 1) > 0 — те же корни и интервалы.
ОДЗ
По теореме Виета для x² + x − 2 = 0: сумма корней равна −1, произведение −2. Подбираем x₁ = −2 и x₂ = 1, отсюда x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1).
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Подставляем разложение из шага 1, переносим логарифм влево. Сворачиваем разность логарифмов в логарифм частного Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
, сокращаем (x + 2) и объединяем (x − 1) · (x − 1) = (x − 1)². Дальше потенцирование: 1 = log₂ 2; основание логарифма 2 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм. Из чётной степени переходим к модулю и раскрываем его двойным неравенством.Сокращение (x + 2) допустимо: x = −2 уже исключено ОДЗ — корень не теряем.
шаг 3.Пересечение с ОДЗ
Отрезок [1 − √2; 1 + √2] ≈ [−0,41; 2,41] пересекаем с ОДЗ x < −2 или x > 1. Левый конец 1 − √2 > −2, в левую ветвь ОДЗ не попадает. Остаётся (1; 1 + √2].