условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы определены при x > 0.
ОДЗ
шаг 2.Считаем числовые логарифмы
Постоянное числовое слагаемое и множитель 3·log₈x − 1 упрощаем отдельно, приводя всё к основанию 2Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Обозначаем t = log₂x., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₈x = (log₂x)/(log₂8) = (log₂x)/3, поэтому 3·log₈x = log₂x.
шаг 3.Переписываем неравенство через t
Левую часть записываем как (t² + 3)(t − 1), правую — как 4t(t − 1). Переносим всё влево и выносим общий множитель (t − 1).
log₂(x/2) = log₂x − 1 = t − 1, log₂x² = 2·log₂x = 2t. t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3), отсюда (t − 1)·(t − 1)(t − 3) = (t − 1)²(t − 3).
шаг 4.Метод интервалов в t
Множитель (t − 1)² ≥ 0, поэтому знак произведения совпадает со знаком (t − 3). Точка t = 1 — корень чётной кратности 2 → петелька, знак через неё не меняется; при нестрогом ≥ она входит в решение изолированной точкой. Корень t = 3 закрашен.
Слева и справа от t = 1 знак одинаковый («−»), сама точка t = 1 даёт ноль и входит в решение.
Решение: t = 1 или t ≥ 3.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 5.Обратная замена
Подставляем t = log₂x. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его. 1 = log₂2, 3 = log₂8.Точка x = 2 — изолированное решение (из случая 1), луч x ≥ 8 — из случая 2.