условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; знаменатели log₃x и log₃x² не равны нулю ⟹ x ≠ 1.
ОДЗ
шаг 2.Замена t = log₃ x
log₃(9/x) = 2 − t, log₃x² = 2t. Подставляем и переносим всё влево.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Складываем дроби: −8/t − 2 + t даёт квадратный трёхчлен в числителе.
По теореме Виета для t² − 2t − 8 = 0: сумма корней должна равняться 2, произведение — −8. Подбираем t₁ = 4 и t₂ = −2, отсюда t² − 2t − 8 = (t − 4)(t + 2).
шаг 4.Метод интервалов и обратная замена
Нули t = −2 и t = 4 закрашены, t = 0 выколота. Возвращаемся к x: основание 3 > 1Логарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.Пробная точка t = 1: (−3)(3)/1 < 0 ✓. t ≤ −2 ⟺ 0 < x ≤ 1/9; 0 < t ≤ 4 ⟺ 1 < x ≤ 81.