Задача 10151210 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

9^{\lg x} + x^{2 \lg 3} \geq 6

Логарифм определён при x > 0.

ОДЗ

x > 0

Так как 2lg3 = lg9 и xˡᵍ⁹ = 9ˡᵍˣ, оба слагаемых одинаковы.

x^{2 \lg 3} = x^{\lg 9} = 9^{\lg x}

9^{\lg x} + 9^{\lg x} = 2 \cdot 9^{\lg x}

Делим на 2 и записываем 3 = 3¹, 9 = 3².

2 \cdot 9^{\lg x} \geq 6

9^{\lg x} \geq 3

3^{2 \lg x} \geq 3^{1}

2 \lg x \geq 1

Степень с основанием 3 > 1 возрастает → сравниваем показатели.

lg x ≥ 1/2; основание 10 > 1, логарифм возрастает — x ≥ 10¹ᐟ² = √10.

\lg x \geq \frac{1}{2}

\lg x \geq \lg \sqrt{10}

x \geq \sqrt{10}

x \in [\sqrt{10}; + \infty)