условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; знаменатели не равны нулю: log(x/16) ≠ 0, log(8x) ≠ 0 и 4 − log₂x ≠ 0.
ОДЗ
шаг 2.Переходим к основанию 2
Отношение логарифмов одного аргумента не зависит от основанияПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
— выражаем обе дроби через u = log₂x., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Сводим к одной дроби
Подставляем правую часть и переносим всё влево, к общему знаменателю (4 − u)(u + 3).
3/(u − 4) = −3/(4 − u); числитель −3(u + 3) − 2(3 − u) = −3u − 9 − 6 + 2u = −(u + 15).
шаг 4.Метод интервалов в u
Корень числителя u = −15 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва u = −3 и u = 4 — выколоты.
Пробная точка u = 0: −15/((4)(3)) < 0 ✓. Решение: u ≤ −15 или −3 < u < 4.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x через u = log₂x; основание 2 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.Нижняя граница 0 случая 1 — из ОДЗ; границы 1/8 и 16 выколоты.