условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм log₇ x и степень x^{…} определены только при положительном x.
ОДЗ
шаг 2.Замена t = log₇ x, всё к основанию 7
Обозначим t = log₇ x, тогда x = 7^t. Слева уже степень семёрки. Справа тоже приводим к основанию 7: 1/7 = 7^{−1}, а x в степени (2/7)·t равен 7^{(2/7)t²}.
log₇² x = t², и (7^t)^{(2/7)t} = 7^{(2/7)t²}. Множитель 1/7 = 7^{−1}.
шаг 3.Сравниваем показатели
Основание 7 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
, поэтому сравнение степеней равносильно сравнению показателей.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
2/7 − 1/4 = (8 − 7)/28 = 1/28, поэтому 1 ≤ t²/28, то есть t² ≥ 28.
шаг 4.Решаем t² ≥ 28
Извлекаем корень: |t| ≥ √28 = 2√7. Значит t ≤ −2√7 или t ≥ 2√7.
шаг 5.Обратная замена t = log₇ x
Возвращаемся к x. Основание 7 > 1 — логарифм возрастает, поэтому неравенства для log₇ x переводятся в неравенства для x без смены знака. Пересекаем с ОДЗ x > 0.
Выноска от нуля — ОДЗ x > 0: левый луч ограничен снизу областью определения и превращается в 0 < x ≤ 7^{−2√7}, точка 0 выколота по ОДЗ.