условие

log3⁡(x2+7x+10)+log13⁡x+59+1≥log3⁡(3x2+16x+20)

шаг 1.Область допустимых значений

Все аргументы логарифмов положительны. Квадратные трёхчлены раскладываем на множители и решаем каждое условие на своей оси.

ОДЗ
{x2+7x+10>0x+59>03x2+16x+20>0⟺{(x+2)(x+5)>0x+5>0(x+2)(3x+10)>0
+−+I условие5−2−
−∞
+∞
x
II условие5−
−∞
+∞
x
+−+III условие2−
−103
−∞
+∞
x
ОДЗ2−
−∞
+∞
x

Корни 3x² + 16x + 20 = 0: по теореме Виета сумма корней должна равняться −16/3, произведение — 20/3. Подбираем −2 и −10/3, отсюда 3x² + 16x + 20 = (x + 2)(3x + 10). Пересечение трёх условий — луч x > −2.

шаг 2.Приводим логарифмы к одному основанию

Основания 1/3 и 3 взаимно обратны, поэтому второй логарифм меняет знак при переходе к основанию 3 Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
. Минус перед логарифмом заносим внутрь — дробь переворачивается.
log13⁡A=−log3⁡A
log13⁡x+59=−log3⁡x+59=log3⁡9x+5

Смена основания: log_{1/3}A = log₃A : log₃(1/3), а log₃(1/3) = −1. Минус перед логарифмом — это показатель степени −1 у аргумента: −log₃A = log₃A⁻¹.

шаг 3.Сворачиваем левую часть и снимаем логарифм

Свободный член записываем как log₃3 и сворачиваем сумму логарифмов слева в логарифм произведения Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
. Основание 3 больше единицы — логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
, поэтому при снятии логарифма знак неравенства сохраняется.
log3⁡((x+2)(x+5))+log3⁡9x+5+log3⁡3≥log3⁡((x+2)(3x+10))
log3⁡((x+2)(x+5)⋅9x+5⋅3)≥log3⁡((x+2)(3x+10))
log3⁡(27(x+2))≥log3⁡((x+2)(3x+10))
27(x+2)≥(x+2)(3x+10)

Единица равна логарифму основания: log₃3 = 1, так как 3¹ = 3. Сокращение (x + 5) под логарифмом допустимо: на ОДЗ x > −2, значит x + 5 > 0 — корень не теряем.

шаг 4.Делим на (x + 2) и упрощаем

На ОДЗ x > −2, поэтому множитель x + 2 положителен: делим на него обе части и решаем оставшееся линейное неравенство.

27≥3x+10
3x+10≤27
3x≤17
x≤173

Деление на (x + 2) допустимо: на ОДЗ x > −2, значит x + 2 > 0 и знак неравенства сохраняется — корень не теряем. Знак «≥» сменился на «≤» не из-за умножения на −1, а потому что мы поменяли стороны местами: 27 ≥ 3x + 10 ⟺ 3x + 10 ≤ 27.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Решение неравенства x ≤ 17/3 пересекаем с ОДЗ x > −2.

ОДЗ2−
−∞
+∞
x
неравенство
173
−∞
+∞
x
пересечение2−
173
−∞
+∞
x

Граница x = 17/3 закрашена (неравенство нестрогое) и лежит правее −2, поэтому входит в ответ. Точка x = −2 выколота по ОДЗ.

ответ

x∈(−2;173]
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -