условие

logx−1⁡(6x−1)(0,125log33⁡x2−log3⁡x)(log3⁡(x−2)−1)≥0

шаг 1.Область допустимых значений

Основание x − 1 положительно и не равно 1; самое сильное ограничение даёт аргумент log₃(x − 2), требующий x > 2. Обе скобки знаменателя не равны нулю.

ОДЗ
{x−1>0,x−1≠16x−1>0x−2>0
x>2
x≠3,x≠5(нули знаменателя)
ОДЗ235
−∞
+∞
x

Ограничения x > 1, x ≠ 2, 6x − 1 > 0 слабее, чем x > 2. Первая скобка знаменателя обнуляется при x = 3, вторая — при x = 5 (см. шаг 2). ОДЗ: (2; 3) ∪ (3; 5) ∪ (5; +∞).

шаг 2.Упрощаем знаменатель

В первой скобке 0,125 = 1/8, а log₃x² = 2·log₃x (на ОДЗ x > 0) Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
; куб множителя 8 сокращает 1/8. Во второй скобке 1 = log₃3, разность сворачиваем в логарифм частного.
0,125log33⁡x2=18(2log3⁡x)3=log33⁡x
0,125log33⁡x2−log3⁡x=log33⁡x−log3⁡x
=log3⁡x(log3⁡x−1)(log3⁡x+1)
log3⁡(x−2)−1=log3⁡(x−2)−log3⁡3=log3⁡x−23

log₃x³·… : (2·log₃x)³ = 8·log₃³x, множитель 8 гасит 0,125 = 1/8. Дальше выносим log₃x: log₃³x − log₃x = log₃x·(log₃²x − 1) = log₃x·(log₃x − 1)(log₃x + 1). Нули первой скобки: log₃x = 0, ±1, то есть x = 1, 3, 1/3; в ОДЗ попадает только x = 3. Вторая скобка равна нулю при (x − 2)/3 = 1, то есть x = 5.

шаг 3.Знак числителя

Числитель — один логарифм с переменным основанием x − 1 > 1. Его знак находим рационализацией Метод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
loga⁡f−loga⁡g(a−1)(f−g)a>0,a≠1,f,g>0af−ag(a−1)(f−g)a>0,a≠1|f|−|g|(f−g)(f+g)любыеf−gf−gf,g≥0
Множитель (a−1) задаёт направление: при a>1 он положителен (знак как у f−g), при 0<a<1 — отрицателен, знак переворачивается.
, сравнивая с log_{x−1}1 = 0.
logx−1⁡(6x−1)∼(x−1−1)((6x−1)−1)
=(x−2)(6x−2)>0(x>2)

На ОДЗ x > 2, поэтому x − 2 > 0 и 6x − 2 > 0 — числитель положителен во всех точках ОДЗ.

шаг 4.Метод интервалов

На ОДЗ x > 2, значит log₃x > 0 и log₃x + 1 > 0 — знак первой скобки задаёт только (log₃x − 1) ∼ (x − 3), а второй — log₃((x − 2)/3) ∼ (x − 5). Числитель положителен, поэтому знак дроби равен знаку (x − 3)(x − 5). Нужен «≥ 0», а дробь в ноль не обращается, значит (x − 3)(x − 5) > 0. Точки 3 и 5 выколоты. Пересекаем с ОДЗ.

log3⁡x>0,log3⁡x+1>0(x>2)
log3⁡x−1∼x−3,log3⁡x−23∼x−5
числитель>0⇒дробь≥0⇔(x−3)(x−5)>0
+−+знак дроби235
−∞
+∞
x
ОДЗ235
−∞
+∞
x
ответ235
−∞
+∞
x

(x − 3)(x − 5) > 0 даёт x < 3 или x > 5. Пересекаем с ОДЗ (2; 3) ∪ (3; 5) ∪ (5; +∞): остаётся (2; 3) ∪ (5; +∞).

ответ

x∈(2;3)∪(5;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -