условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x − 1 > 0; знаменатели не равны нулю.
ОДЗ
log₃27 = 3. Знаменатели обнуляются при log₂(x − 1) = −1, −2, −3, то есть x − 1 = 1/2, 1/4, 1/8.
шаг 2.Замена u = log₂(x − 1)
Обозначаем u = log₂(x − 1) и выражаем все три знаменателя через u (в правом log₃27 = 3). Получаем сумму дробей в u.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю.
Числитель: 2(u+2)(u+3) + 3(u+1)(u+3) − 8(u+1)(u+2) = −3u² − 2u + 5 = −(u − 1)(3u + 5); умножение на −1 переворачивает знак неравенства.
шаг 4.Метод интервалов в u
Нули числителя u = −5/3 и u = 1 закрашены (нестрогое ≥). Точки разрыва u = −3, −2, −1 выколоты.
Пробная точка u = 0: (−1)(5)/((1)(2)(3)) < 0 ✗. Решение: −3 < u < −2, −5/3 ≤ u < −1, u ≥ 1.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x: u = log₂(x − 1), значит x = 2ᵘ + 1. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.−3 < u < −2 ⟺ 9/8 < x < 5/4; −5/3 ≤ u < −1 ⟺ 1 + 2^{−5/3} ≤ x < 3/2; u ≥ 1 ⟺ x ≥ 3.