условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны.
По теореме Виета для x² − 5x + 4 = 0: сумма корней должна равняться 5, произведение — 4. Подбираем x₁ = 1 и x₂ = 4, отсюда x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4). Пересечение трёх условий даёт −5 < x < 1: ветка x > 4 второго условия отсекается первым.
шаг 2.Сворачиваем правую часть
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 3.Сводим к кубическому неравенству
Раскрываем скобки и переносим всё влево, затем раскладываем на множители.
Корень x = 1 подбираем среди делителей свободного члена: 1 − 7 + 6 = 0, значит (x − 1) — множитель. Деление даёт x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x² + x − 6). По теореме Виета для x² + x − 6 = 0: сумма корней должна равняться −1, произведение — −6. Подбираем 2 и −3, отсюда x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3).
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Корни закрашены (нестрогое ≤). Решение неравенства пересекаем с ОДЗ на отдельных осях.
Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0 − 2)(0 + 3) = 6 > 0 — знак «+» на (−3; 1), дальше чередование. Отрезок [1; 2] целиком вне ОДЗ (там x ≥ 1), поэтому остаётся только левый кусок, обрезанный слева границей ОДЗ x = −5.