Обозначим t = log₈x: log₈(x/64) = t − 2, log₈x² = 2ti×Преобразования логарифмов и ОДЗ

Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм ${\log }_{a}b$ требует $a>0,a\ne 1,b>0$.

Степень выносим с модулем
Тождество ${\log }_a{b}^n=n{\log }_{a}b$ верно только при $b>0$. При чётном показателе $b^{2k}$ определено и для $b<0$, поэтому обязателен модуль:

$${\log }_a{b}^{2k}=2k{\log }_a|b|$$

У нас $\frac{1}{6}{\log }_3{(x+1)}^6={\log }_3|x+1|$. Без модуля потеряли бы ветку $x<-1$ и корень $x=-4$.

Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход $c{\log }_{a}b={\log }_a{b}^c$ при чётном $c$ расширяет область: $2{\log }_{a}x={\log }_a{x}^2$ — слева $x>0$, справа $x\ne 0$. Появляются посторонние корни $x<0$; держим исходное $b>0$ или сразу пишем модуль.

Свернуть в один — можно
${\log }_{a}f+{\log }_{a}g={\log }_a(fg)$
${\log }_{a}f-{\log }_{a}g={\log }_a\frac{f}{g}$
ОДЗ уже требует $f>0$ и $g>0$ — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.

Развернуть в сумму/разность — опасно
${\log }_a(fg)$ определён при $fg>0$, ${\log }_a\frac{f}{g}$ — при $\frac{f}{g}>0$ (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на ${\log }_{a}f\pm {\log }_{a}g$, силой требуем $f>0,g>0$ и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:

$${\log }_a(fg)={\log }_a|f|+{\log }_a|g|$$

Смена основания — безопасно
${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$ и ${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{1}{{\log }_{b}a}}$ — область не меняется (нужно $c>0,c\ne 1$, для второй $b\ne 1$).

Основное тождество
$a^{{\log }_{a}b}=b(b>0)$, ${\log }_a{a}^k=k$ — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ($c={\log }_a{a}^c$).

. Правую часть приводим к общему знаменателю и переносим влево.

Возвращаемся к x: основание 8 > 1, логарифм возрастаетi×Логарифм и знак неравенства

Функция $y={\log }_{a}x$ монотонна при $x>0$. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.

Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: ${\log }_{a}A\lessgtr {\log }_{a}B⟺A\lessgtr B$ (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, ${\log }_{a}A\le {\log }_{a}B⟺A\ge B$.

Число $c$ превращаем в логарифм того же основания: $c={\log }_a{a}^c$ — тогда сравниваем аргументы (не забывая $A>0$).

— снимаем его.