условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифма положителен. Записываем 29·10^{x−1} = 2,9·10ˣ и выносим 4ˣ.
ОДЗ
4ˣ > 0, поэтому остаётся 2,9·2,5ˣ > 1, то есть 2,5ˣ > 1/2,9 = 10/29.
шаг 2.Снимаем логарифм
Записываем 2x = log₅5^{2x} = log₅25ˣ; основание 5 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм и переносим всё влево.шаг 3.Замена u = 2,5ˣ
Делим обе части на 4ˣ > 0: 25ˣ/4ˣ = 6,25ˣ = (2,5ˣ)², а 10ˣ/4ˣ = 2,5ˣ. Получаем квадратное неравенство относительно u.
Пробная точка u = 1: (1 − 5/2)(1 − 2/5) = −0,9 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥): u ≤ 2/5 или u ≥ 5/2. Выноска от нуля — условие замены u = 2,5ˣ > 0: из левого луча остаётся только 0 < u ≤ 2/5.
шаг 4.Обратная замена
Парабола ветвями вверх: u ≤ 2/5 или u ≥ 5/2. Возвращаемся к x через u = 2,5ˣ; основание 2,5 > 1, функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
. Пересекаем с ОДЗ — левый край отрезается границей log_{2,5}(10/29).· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Ветвь x ≤ −1 пересекается с ОДЗ x > log_{2,5}(10/29) ≈ −1,16 — остаётся (log_{2,5}(10/29); −1]. Ветвь x ≥ 1 целиком в ОДЗ.