условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён при x > 0; знаменатели не равны нулю.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Обозначаем t = log₃x. Второй знаменатель сворачивается в полный квадрат (t − 3)², поэтому вводим u = t − 3 и приводим сумму к одной дроби.
log₃(27x⁶) = log₃27 + 6log₃x = 3 + 6t; отсюда t² − (3 + 6t) + 12 = (t − 3)². По теореме Виета для u² + 6u + 5 = 0: сумма корней должна равняться −6, произведение — 5. Подбираем −1 и −5, отсюда u² + 6u + 5 = (u + 1)(u + 5).
шаг 3.Метод интервалов в u
Множитель u² > 0 (кроме u = 0 — разрыв), знак задаёт (u + 1)(u + 5). Корни u = −5 и u = −1 — закрашены, точка разрыва u = 0 — выколота.
Решение: u ≤ −5 или u ≥ −1 (u ≠ 0).
шаг 4.Обратная замена
u = log₃x − 3. Основание 3 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.u ≤ −5 → x ≤ 1/9; u ≥ −1 → x ≥ 9 (x ≠ 27).