условие
шаг 1.Метод рационализации
Записываем 1 = 3⁰ и 0 = log_{1/2}1 — оба множителя становятся разностями с одним основанием. Дальше — метод рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
: и aᶠ − aᵍ, и log_a f − log_a g имеют тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ② на аргумент логарифма.Основание 1/2 меньше единицы, поэтому множитель (1/2 − 1) отрицателен — выписываем его явно, иначе легко ошибиться со знаком.
шаг 2.Неравенство ①
Перемножаем числовые множители, сворачиваем полный квадрат, а затем вносим минус в скобку. Оставшийся трёхчлен раскладываем по теореме Виета.
x² − 4x + 4 = x² − 2·x·2 + 2² = (x − 2)² — полный квадрат.
По теореме Виета для x² − 4x + 3 = 0: сумма корней должна равняться 4, произведение — 3. Подбираем 1 и 3, отсюда x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).
Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0 − 2)²(0 − 3) = 12 > 0 — знак «+» левее 1, дальше знак меняется в 1 и 3, а через x = 2 (чётная кратность → петелька) не меняется.
Все три корня закрашены (нестрогое ≥), поэтому x = 2 входит в ответ изолированной точкой.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 3.Ограничение ② и пересечение
Аргумент логарифма — сумма квадрата и единицы, он положителен при любом x, поэтому ② выполнено на всей прямой и ничего не отсекает.
Проверка изолированной точки: при x = 2 логарифм равен log_{1/2}1 = 0, поэтому всё произведение обращается в ноль и нестрогое неравенство выполняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.