условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифма положителен.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к показательному
Заносим коэффициент в показатель и правую часть записываем логарифмом того же основания, затем сворачиваем сумму слева в логарифм произведения. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его и делим на 2ˣ.6ˣ⁻¹ = 6ˣ/6, 2ˣ⁺¹ = 2·2ˣ; делим на 2ˣ: 6ˣ/2ˣ = 3ˣ.
шаг 3.Делаем замену
Обозначим s = 3ˣ, s > 0. Решаем квадратное неравенство.
По теореме Виета для s² − s − 12 = 0: сумма корней должна равняться 1, произведение — −12. Подбираем s₁ = 4 и s₂ = −3, отсюда s² − s − 12 = (s − 4)(s + 3). Пробная точка s = 0: (0 − 4)(0 + 3) = −12 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Выноска показывает ограничение замены s > 0: из отрезка [−3; 4] остаётся 0 < s ≤ 4.
шаг 4.Обратная замена
Подставляем s = 3ˣ. Основание 3 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— снимаем и пересекаем с ОДЗ x > 0.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
log₃4 ≈ 1,26 > 0 — пересечение непусто. Левая граница 0 выколота по ОДЗ, правая log₃4 закрашена.