Задача 10151238 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3^{\lg (x^{2} - 1)} \geq {(x + 1)}^{\lg 3}

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен: x² − 1 > 0. Правая часть (x + 1)^{lg3} — степень с иррациональным показателем, поэтому основание x + 1 > 0. Пересекаем оба условия.

ОДЗ

(𝟏) x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow x^{2} > 1

(𝟐) x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1

ОДЗ : x > 1

шаг 2.Логарифмируем неравенство

Обе части положительны — берём десятичный логарифм от каждой. Показатель степени выносится множителем, после чего делим на положительное lg 3.

3^{\lg (x^{2} - 1)} \geq {(x + 1)}^{\lg 3}

\lg (x^{2} - 1) \cdot \lg 3 \geq \lg 3 \cdot \lg (x + 1)

\lg (x^{2} - 1) \geq \lg (x + 1)

lg(Aᵏ) = k·lg A; деление на положительное lg 3 знак неравенства не меняет.

шаг 3.Снимаем логарифм

Слева и справа — десятичные логарифмы, основание 10 > 1, функция возрастает. Снимаем lg и переносим всё влево.

\lg (x^{2} - 1) \geq \lg (x + 1)

x^{2} - 1 \geq x + 1

x^{2} - x - 2 \geq 0

шаг 4.Решаем квадратное неравенство

Находим корни трёхчлена и берём внешнюю область (парабола ветвями вверх). Затем пересекаем с ОДЗ x > 1 — ветка x ≤ −1 отпадает.

x^{2} - x - 2 = 0

D = 1 + 8 = 9

x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \begin{matrix} = 2 \\ = - 1 \end{matrix}

(x - 2) (x + 1) \geq 0

x \leq - 1 или x \geq 2

Корни x² − x − 2: x = (1 ± √9)/2 = 2 и −1. На ОДЗ x > 1, поэтому остаётся только x ≥ 2.

ответ

x \in [2; + \infty)

$2^{\lg (x^{2} - 4)} \geq {(x + 2)}^{\lg 2}$