Задача 10151235 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{x^{2} + 1} \frac{2 \cdot 4^{x} - 15 \cdot 2^{x} + 23}{4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 14} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Основание логарифма x² + 1 > 0 и не равно 1, поэтому x ≠ 0. Аргумент логарифма должен быть положителен — это условие учтём вместе с решением.

ОДЗ

x^{2} + 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0

При x ≠ 0 основание x² + 1 > 1.

шаг 2.Снимаем логарифм

Основание x² + 1 > 1, логарифм возрастает. Значит log ≥ 0 равносильно «аргумент ≥ 1» (заодно аргумент положителен).

\frac{2 \cdot 4^{x} - 15 \cdot 2^{x} + 23}{4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 14} \geq 1

Логарифм при основании больше 1 неотрицателен только когда его аргумент не меньше 1.

шаг 3.Замена t = 2ˣ

Обозначим t = 2ˣ, причём t > 0; тогда 4ˣ = t². Переносим 1 влево и приводим к одной дроби. Числитель чудесно сворачивается в полный квадрат.

t = 2^{x} > 0 : \frac{2 t^{2} - 15 t + 23}{t^{2} - 9 t + 14} - 1 \geq 0

\frac{(2 t^{2} - 15 t + 23) - (t^{2} - 9 t + 14)}{t^{2} - 9 t + 14} \geq 0

\frac{t^{2} - 6 t + 9}{(t - 2) (t - 7)} \geq 0

\frac{{(t - 3)}^{2}}{(t - 2) (t - 7)} \geq 0

По теореме Виета для t² − 9t + 14 = 0: сумма корней должна равняться 9, произведение — 14. Подбираем t₁ = 2 и t₂ = 7, отсюда знаменатель t² − 9t + 14 = (t − 2)(t − 7). Числитель — полный квадрат: t² − 6t + 9 = (t − 3)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Числитель (t − 3)² ≥ 0, поэтому знак дроби задаёт знаменатель (t − 2)(t − 7). Корень t = 3 — чётной кратности → петелька, знак через него не меняется; но в самой точке дробь равна 0, что подходит под ≥ 0, поэтому t = 3 входит изолированно. Точки разрыва t = 2 и t = 7 выколоты.

На (2; 7) знаменатель < 0 — дробь отрицательна, кроме самой точки t = 3, где числитель обнуляется и дробь равна 0 (входит в ответ).

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x. Основание степени 2 > 1, функция 2ˣ возрастает — логарифмируем, сохраняя знак. Точку x = 0 выкалываем по ОДЗ.

2^{x} < 2 \Rightarrow x < 1

2^{x} = 3 \Rightarrow x = \log_{2} 3

2^{x} > 7 \Rightarrow x > \log_{2} 7

Из t < 2 получаем x < 1, но точку x = 0 (она внутри) выкалываем по ОДЗ. Точка x = log₂3 ≈ 1,58 — изолированная (петелька).

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup (0; 1) \cup {\log_{2} 3} \cup (\log_{2} 7; + \infty)

$\log_{x^{2} + 1} \frac{2 \cdot 9^{x} - 19 \cdot 3^{x} + 40}{9^{x} - 11 \cdot 3^{x} + 24} \geq 0$