условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифмов положителен: x + 0,5 > 0.
ОДЗ
шаг 2.Упрощаем первый множитель
Записываем 0,2 = 5⁻¹ и собираем степени пятёрки. Обозначим m = x − 0,5.
5·5^{−(x+0,5)} = 5^{1−x−0,5} = 5^{0,5−x}; 5⁻¹·5^{x+0,5} = 5^{x−0,5}.
шаг 3.Упрощаем второй множитель
Так как 0,2 = 5⁻¹, имеем log_{0,2}y = −log₅y. Поэтому весь множитель кратен log₅(x + 0,5).
шаг 4.Оба множителя меняют знак в одной точке
Степень 5ᵗ возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
, логарифм log₅ возрастаетЛогарифм и знак неравенства· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
. Оба множителя обращаются в ноль при x = 0,5 и меняют знак согласованно.- первый множитель:⟺
- второй множитель:⟺
log₅(x + 0,5) = 0 при x + 0,5 = 1, то есть x = 0,5 — та же точка, что и нуль первого множителя.
шаг 5.Произведение — полный квадрат по знаку
Знаки обоих множителей совпадают при любом x из ОДЗ, поэтому произведение неотрицательно и обращается в ноль лишь при x = 0,5. Строгое неравенство > 0 исключает эту точку.
Слева от 0,5 оба множителя положительны, справа — оба отрицательны; произведение «+» всюду, кроме самой точки x = 0,5 (там 0).