Задача 10151211 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

9^{\lg x} + x^{2 \lg 3} \leq \frac{2}{3}

Логарифм определён при x > 0.

ОДЗ

x > 0

Так как 2lg3 = lg9 и xˡᵍ⁹ = 9ˡᵍˣ, оба слагаемых одинаковы.

x^{2 \lg 3} = x^{\lg 9} = 9^{\lg x}

9^{\lg x} + 9^{\lg x} = 2 \cdot 9^{\lg x}

Делим на 2; 1/3 = 3⁻¹, 9 = 3².

2 \cdot 9^{\lg x} \leq \frac{2}{3}

9^{\lg x} \leq \frac{1}{3}

3^{2 \lg x} \leq 3^{- 1}

2 \lg x \leq - 1

Степень с основанием 3 > 1 возрастает → сравниваем показатели.

lg x ≤ −1/2; основание 10 > 1, логарифм возрастает — x ≤ 10⁻¹ᐟ² = 1/√10.

\lg x \leq - \frac{1}{2}

\lg x \leq \lg \frac{1}{\sqrt{10}}

0 < x \leq \frac{1}{\sqrt{10}}

Нижняя граница 0 — из ОДЗ x > 0.

x \in (0; \frac{1}{\sqrt{10}}]