Задача 10151223 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

4^{\lg x} + x^{2 \lg 2} \geq 4

Логарифм определён при x > 0.

ОДЗ

x > 0

Так как 2lg2 = lg4 и xˡᵍ⁴ = 4ˡᵍˣ, оба слагаемых одинаковы.

x^{2 \lg 2} = x^{\lg 4} = 4^{\lg x}

4^{\lg x} + 4^{\lg x} = 2 \cdot 4^{\lg x}

Делим на 2; 2 = 2¹, 4 = 2².

2 \cdot 4^{\lg x} \geq 4

4^{\lg x} \geq 2

2^{2 \lg x} \geq 2^{1}

2 \lg x \geq 1

Степень с основанием 2 > 1 возрастает → сравниваем показатели.

lg x ≥ 1/2; основание 10 > 1, логарифм возрастает — x ≥ √10.

\lg x \geq \frac{1}{2}

\lg x \geq \lg \sqrt{10}

x \geq \sqrt{10}

x \in [\sqrt{10}; + \infty)