шаг 1.Область допустимых значений

Положительными должны быть аргументы обоих логарифмов. У первого (x + 2)²(x + 5)/5 > 0 сводится к x + 5 > 0 при x ≠ −2 (множитель (x + 2)² ≥ 0); у второго (x + 5)/20 > 0 даёт x + 5 > 0.

шаг 2.Раскладываем разность квадратов

Неравенство имеет вид A² < B² с A = lg первого аргумента, B = lg второго. Переносим всё влево и раскладываем по формуле A² − B² = (A − B)(A + B). Разность логарифмов — логарифм частного, сумма — логарифм произведения.

Разность: lg M − lg N = lg(M/N); множитель (x + 5) сокращается (x = −5 вне ОДЗ, ничего не теряем), остаётся 4(x + 2)². Сумма: lg M + lg N = lg(MN), здесь (x + 5)·(x + 5) = (x + 5)² и 5·20 = 100.

шаг 3.Знаки множителей

Из 4(x + 2)² < 1 следует |x + 2| < 1/2, то есть −5/2 < x < −3/2. Для второго множителя |(x + 2)(x + 5)| < 10 даёт −10 < x² + 7x + 10 < 10; левое неравенство x² + 7x + 20 > 0 верно всегда (D < 0), правое x² + 7x < 0 даёт −7 < x < 0. На ОДЗ остаётся −5 < x < 0.

шаг 4.Метод интервалов

Отмечаем на оси нули множителей: x = −5/2 и x = −3/2 (нули первого) и x = 0 (нуль второго), все выколоты — неравенство строгое. Точка x = −2 выколота по ОДЗ. Знак произведения определяем по знакам множителей.

На (−5; −5/2): первый множитель > 0, второй < 0 → произведение «−» ✓. На (−5/2; −3/2): оба < 0 → «+». На (−3/2; 0): первый > 0, второй < 0 → «−» ✓. Правее нуля оба > 0 → «+». Точка x = −2 лежит внутри «+»-интервала и на ответ не влияет.