условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Множитель x² + 3 > 0 знак не меняет, поэтому ОДЗ определяется остальными множителями.
ОДЗ
Вынося минус: 4x − x² − 3 = −(x² − 4x + 3). По теореме Виета для x² − 4x + 3 = 0 сумма корней должна равняться 4, произведение — 3: подбираем 1 и 3, отсюда 4x − x² − 3 = (x − 1)(3 − x). Пробная точка x = 2: (2 − 1)(3 − 2) = 1 > 0 — знак «+» между корнями, чередование «−, +, −». Пересечение условий даёт 1 < x < 3.
шаг 2.Сворачиваем правую часть
Сумму логарифмов сворачиваем в логарифм произведения Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Основание 2 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— сравниваем аргументы.шаг 3.Делим на (x − 1) и упрощаем
На ОДЗ x − 1 > 0, поэтому делим обе части на него и упрощаем.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Пересекаем x ≤ 3/2 с ОДЗ 1 < x < 3.
Граница x = 1 выколота по ОДЗ; x = 3/2 закрашена (нестрогое ≤). Правая граница ОДЗ x = 3 отсекается неравенством.