условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Итоговое неравенство даст лишь отдельные точки — их проверим по этим условиям.
Первое условие даёт x < (1 − √13)/2 ≈ −1,30 или x > (1 + √13)/2 ≈ 2,30; второе — x < −3/2 или x > 1. Более жёсткие границы побеждают: слева остаётся x < −3/2, справа x > (1 + √13)/2. Третье условие выкалывает ±√2 ≈ ±1,41, но обе точки и так вне полученного множества.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Справа: 2 = log₃3² = log₃9 и log_{1/3}4 = −log₃4, значит log₃9 − log₃4 = log₃(9/4); вместе с log₃(x² − 2)² даёт log₃(9(x² − 2)²/4).
шаг 3.Сводим к многочлену
Умножаем обе части на 4, раскрываем скобки и приводим подобные; переносим всё в одну сторону.
(x² − x − 3)(2x² + x − 3) = 2x⁴ − x³ − 10x² + 9. 9(x² − 2)² = 9x⁴ − 36x² + 36.
шаг 4.Изолированные точки и проверка ОДЗ
Произведение двух квадратов x²(x + 2)² ≥ 0 при любом x, поэтому неравенство ≤ 0 выполняется только там, где оно равно нулю: x = 0 или x = −2. Проверяем оба по ОДЗ.
x = 0: x² − x − 3 = −3 < 0 — не входит в ОДЗ, отбрасываем. x = −2: аргументы 3, 3, 4 положительны — годится. Проверка: log₃3 + log₃3 = 2 и справа log₃4 + 2 − log₃4 = 2, равенство 2 ≥ 2 верно.