условие

log3⁡1x+log3⁡(x2+3x−9)≤log3⁡(x2+3x+1x−10)

шаг 1.Область допустимых значений

Положительными должны быть все три аргумента логарифмов. Первые два условия решаем на своих осях, а положительность правого аргумента проверим на итоговом множестве в последнем шаге.

ОДЗ
1x>0⇒x>0
x2+3x−9>0,D=45
x=−3±452=−3±352
x2+3x+1x−10>0
I условие0
−∞
+∞
x
+−+II условие
−3−3√52
−3+3√52
−∞
+∞
x
ОДЗ
−3+3√52
−∞
+∞
x

Ветви x² + 3x − 9 вверх, выражение положительно вне корней; с учётом x > 0 остаётся правый корень. Третий аргумент проверим на итоговом множестве.

шаг 2.Сворачиваем левую часть и снимаем логарифм

Сумму логарифмов сворачиваем в логарифм произведения Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
. Основание 3 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
 — сравниваем аргументы, знак неравенства сохраняется.
log3⁡x2+3x−9x≤log3⁡(x2+3x+1x−10)
x2+3x−9x≤x2+3x+1x−10

шаг 3.Упрощаем и решаем

Умножаем обе части на x > 0 — знак сохраняется. Переносим всё вправо и приводим подобные; полученный кубический многочлен раскладываем на множители подбором корня.

x2+3x−9≤x3+3x2+1−10x
0≤x3+2x2−13x+10
x3+2x2−13x+10=(x−1)(x−2)(x+5)
(x−1)(x−2)(x+5)≥0

Подбираем целый корень: при x = 1 многочлен x³ + 2x² − 13x + 10 = 0, значит (x − 1) — множитель. Делим на (x − 1) столбиком, частное — x² + 3x − 10. По теореме Виета для x² + 3x − 10 = 0: сумма корней должна равняться −3, произведение — −10. Подбираем x₁ = 2 и x₂ = −5, отсюда x² + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5).

шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Нули x = −5, x = 1, x = 2 закрашены (нестрогое ≥). Решение неравенства x ∈ [−5; 1] ∪ [2; +∞) пересекаем с ОДЗ x > (−3 + 3√5)/2 ≈ 1,85. Отрезок [−5; 1] выпадает, остаётся [2; +∞); на нём правый аргумент логарифма положителен, значит ОДЗ выполнено.

−+−+неравенство5−12
−∞
+∞
x
ОДЗ
−3+3√52
−∞
+∞
x
ответ2
−∞
+∞
x

Граница x = 2 правее ОДЗ-порога ≈ 1,85 и входит в ответ закрашенной. При x = 2 правый аргумент x² + 3x + 1/x − 10 = 0,5 > 0.

ответ

x∈[2;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -