условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель не равен нулю; числитель определён при всех x.
ОДЗ
шаг 2.Приводим числитель к основанию 3
В показателе первой степени переходим к основанию 5Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
: log_{√5}3 = 2·log₅3, и пользуемся тождеством 5^{log₅3} = 3. Число 27 = 3³., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
5^{log₅3} = 3 по определению логарифма.
шаг 3.Сравниваем показатели
Основание 3 > 1, показательная функция растётПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
, поэтому знак разности 3^A − 3^B совпадает со знаком A − B.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Знак «∼» — совпадение знаков: разность степеней одного основания положительна ⟺ у уменьшаемого больший показатель.
шаг 4.Раскладываем числитель
Находим корни квадратного трёхчлена через дискриминант.
шаг 5.Метод интервалов в x
Отмечаем нули числителя x = −3 и x = 9/2 (закрашены, нестрогое ≥) и точку разрыва x = 6 (выколота). Знаменатель 6 − x меняет знак при переходе через 6.
Пробная точка x = 0: (2·0 − 9)(0 + 3)/(6 − 0) = (−9)·3/6 < 0 — на (−3; 9/2) знак «−». Знаки чередуются: + на (−∞; −3), − на (−3; 9/2), + на (9/2; 6), − на (6; +∞). Точка x = 6 выколота (знаменатель = 0).