условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; знаменатель не обращается в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Замена t = log₃ x
Делаем замену t = log₃x и раскрываем логарифмыПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
— неравенство становится дробно-рациональным., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим 1 влево и приводим к одной дроби. Числитель отрицателен при всех t, поэтому знак дроби определяет знаменатель.
У числителя −t² − 3t − 11 дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вниз — значит он отрицателен при всех t. Дробь с отрицательным числителем не превосходит нуля ровно тогда, когда знаменатель положителен.
шаг 4.Метод интервалов и обратная замена
Решаем t(t + 4) > 0 и возвращаемся к x: основание 3 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.Пробная точка t = 1: 1·5 > 0 ✓. t < −4 ⟺ 0 < x < 1/81; t > 0 ⟺ x > 1.