условие

log2⁡(4−x)2+2log2⁡(2x−1)≤4log2⁡3

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны. Решаем каждое условие на своей оси и пересекаем. Множитель (4 − x)² чётной степени положителен всюду, кроме x = 4 (петелька — знак не меняется).

ОДЗ
(4−x)2>0
x≠4
2x−1>0
x>12
++I условие4
−∞
+∞
x
II условие
12
−∞
+∞
x
ОДЗ4
12
−∞
+∞
x
Чётная степень (4 − x)² неотрицательна и равна нулю лишь при x = 4, поэтому (4 − x)² > 0 равносильно x ≠ 4 (петелька — знак не меняется). Пересечение с x > 1/2 даёт x > 1/2, x ≠ 4.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 2.Свёртка и снятие логарифма

Заносим коэффициенты в показатели и правую часть записываем логарифмом того же основания, затем сворачиваем сумму слева в логарифм произведения Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
. Основание 2 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
 — снимаем логарифм.
log2⁡(4−x)2+log2⁡(2x−1)2≤log2⁡81
log2⁡((4−x)2(2x−1)2)≤log2⁡81
((4−x)(2x−1))2≤81
|−2x2+9x−4|≤9

2log₂(2x − 1) = log₂(2x − 1)²; 4log₂3 = log₂3⁴ = log₂81. Далее (4 − x)(2x − 1) = −2x² + 9x − 4; неравенство A² ≤ 81 равносильно |A| ≤ 9.

шаг 3.Двойное неравенство

Раскрываем модуль в двойное неравенство. Правая часть выполнена при всех x (дискриминант отрицателен), поэтому решает только левая.

−9≤−2x2+9x−4≤9
−2x2+9x−4≥−9
−2x2+9x+5≥0
2x2−9x−5≤0
2x2−9x−5=0
D=(−9)2−4⋅2⋅(−5)=81+40=121
x=9±1214=9±114=5=−12
2(x−5)(x+12)≤0
−2x2+9x−4≤9
2x2−9x+13≥0
D=(−9)2−4⋅2⋅13=81−104=−23<0
+−+5
−12
−∞
+∞
x

Левая часть: пробная точка x = 0 даёт 2(0 − 5)(0 + 1/2) = −5 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤): −1/2 ≤ x ≤ 5. Правая часть: у 2x² − 9x + 13 дискриминант отрицателен, ветви вверх — неравенство верно при всех x и решение не сужает.

шаг 4.Пересечение с ОДЗ

Накладываем −1/2 ≤ x ≤ 5 на ОДЗ x > 1/2, x ≠ 4.

ОДЗ4
12
−∞
+∞
x
неравенство5
−12
−∞
+∞
x
ответ45
12
−∞
+∞
x

Остаётся 1/2 < x ≤ 5 с выколотой x = 4: обе границы 1/2 и 4 выколоты по ОДЗ, правый конец 5 закрашен.

ответ

x∈(12;4)∪(4;5]
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -