условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы определены при x + 2 > 0.
ОДЗ
шаг 2.Упрощаем первый множитель
Записываем 0,5 = 2^{−1} и приводим обе степени к основанию 2. Первый множитель становится разностью двух степеней двойки.
шаг 3.Упрощаем второй множитель
Так как log_{0,5}(x + 2) = −log₂(x + 2), квадрат логарифма по основанию 0,5 совпадает с квадратом по основанию 2. Обозначим L = log₂(x + 2) и выносим общий множитель.
L = log₂(x + 2).
шаг 4.Нули множителей
Первый множитель — разность степеней одного основания, обращается в ноль один раз. Второй даёт два нуля: при L = 0 и L = 1/4.
В точке x = −1 в ноль обращаются ОБА множителя — это корень суммарно чётной кратности.
шаг 5.Метод интервалов
Степень 2ˣ возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.. Точка x = −1 — общий нуль обоих множителей, суммарно чётной кратности → петелька, знак не меняется; но произведение там равно 0 (подходит под ≤ 0), значит x = −1 входит изолированно. Корень x = 2^{1/4} − 2 закрашен (нестрогое ≤).
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
, поэтому первый множитель положителен при x < −1; логарифм L = log₂(x + 2) тоже возрастаетКогда работает метод интервалов?· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
На (−2; −1) оба множителя положительны, на (−1; 2^{1/4} − 2) оба отрицательны — произведение положительно в обоих случаях.
Пробная точка x = 0: первый множитель 2^{−1} − 2 < 0, второй 0,5·1·3 > 0, произведение < 0 ✓. Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.