Задача 10151207 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

(x + 1) \log_{3} 6 + \log_{3} (2^{x} - \frac{1}{6}) \leq x - 1

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен: 2ˣ > 1/6.

ОДЗ

2^{x} - \frac{1}{6} > 0 \Rightarrow 2^{x} > \frac{1}{6}

шаг 2.Сводим к показательному неравенству

Слагаемое (x + 1)log₃6 = log₃6^{x+1}, а x − 1 = log₃3^{x−1}. Собираем всё под log₃; основание 3 > 1, функция возрастает — снимаем логарифм.

\log_{3} (6^{x + 1} (2^{x} - \frac{1}{6})) \leq \log_{3} 3^{x - 1}

6^{x + 1} (2^{x} - \frac{1}{6}) \leq 3^{x - 1}

шаг 3.Раскрываем степени

Перемножаем и делим обе части на 3ˣ: 12ˣ/3ˣ = 4ˣ, 6ˣ/3ˣ = 2ˣ.

6 \cdot 12^{x} - 6^{x} \leq \frac{3^{x}}{3}

18 \cdot 4^{x} - 3 \cdot 2^{x} \leq 1

6^{x+1} = 6·6ˣ, домножение даёт 6·12ˣ − 6ˣ; затем ·3 и деление на 3ˣ.

шаг 4.Замена v = 2ˣ

4ˣ = v², приходим к квадратному неравенству. Возвращаясь к x, учитываем возрастание 2ˣ и пересекаем с ОДЗ.

v = 2^{x} > 0 : 18 v^{2} - 3 v - 1 \leq 0

18 v^{2} - 3 v - 1 = 0

D = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 18 \cdot (- 1) = 9 + 72 = 81

v = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{36} = \frac{3 \pm 9}{36} \begin{matrix} = \frac{1}{3} \\ = - \frac{1}{6} \end{matrix}

18 (v - \frac{1}{3}) (v + \frac{1}{6}) \leq 0

Пробная точка v = 0: 18(0 − 1/3)(0 + 1/6) = −1 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤): −1/6 ≤ v ≤ 1/3. ОДЗ 2ˣ > 1/6 отсекает всё левее 1/6, граница 1/6 выколота по ОДЗ.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x: показательная функция 2ˣ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются.

\frac{1}{6} < 2^{x} \leq \frac{1}{3}

\log_{2} \frac{1}{6} < x \leq \log_{2} \frac{1}{3}

ответ

x \in (\log_{2} \frac{1}{6}; \log_{2} \frac{1}{3}]

$(2 x + 1) \log_{5} 10 + \log_{5} (4^{x} - \frac{1}{10}) \leq 2 x - 1$