Задача 10150836 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{2} (2 x^{2} - 17 x + 35) - 1}{\log_{7} (x + 6)} \leq 0

шаг 1.Метод рационализации

Числитель и знаменатель — разности логарифмов. Применяем метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ② и ③.

\frac{\log_{2} (2 x^{2} - 17 x + 35) - \log_{2} 2}{\log_{7} (x + 6) - \log_{7} 1} \leq 0

⟺ {\begin{matrix} \frac{(2 - 1) ((2 x^{2} - 17 x + 35) - 2)}{(7 - 1) ((x + 6) - 1)} \leq 0 & 1 \\ 2 x^{2} - 17 x + 35 > 0 & 2 \\ x + 6 > 0 & 3 \end{matrix}

Ограничения ② и ③ — это ОДЗ (аргументы логарифмов положительны). Дальше решаем ①, ② и ③ по очереди, в конце берём пересечение.

шаг 2.Неравенство ①

Упрощаем ①: (2 − 1) = 1, (7 − 1) = 6 (множитель 6 > 0 на знак дроби не влияет: домножаем обе части неравенства на 6 — знак сохраняется, а в знаменателе 6 сокращается). Числитель раскладываем через дискриминант, затем решаем методом интервалов.

1 \frac{(2 - 1) ((2 x^{2} - 17 x + 35) - 2)}{(7 - 1) ((x + 6) - 1)} \leq 0

\frac{2 x^{2} - 17 x + 33}{6 (x + 5)} \leq 0 | \cdot 6

\frac{2 x^{2} - 17 x + 33}{x + 5} \leq 0

2 x^{2} - 17 x + 33 = 0

D = 17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 - 264 = 25

x = \frac{17 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{17 \pm 5}{4} \begin{matrix} = \frac{11}{2} \\ = 3 \end{matrix}

2 x^{2} - 17 x + 33 = 2 (x - 3) (x - \frac{11}{2})

\frac{2 (x - 3) (x - \frac{11}{2})}{x + 5} \leq 0

Нули числителя x = 3 и x = 11/2 закрашены (нестрогое ≤), точка разрыва x = −5 выколота. Пробная точка x = 0 на интервале (−5; 3): 2(0 − 3)(0 − 11/2)/(0 + 5) = 33/5 > 0 — не подходит; через нечётные корни знак чередуется. Решение ①: (−∞; −5) ∪ [3; 11/2].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — аргумент первого логарифма положителен. Квадратный трёхчлен раскладываем через дискриминант и решаем методом интервалов.

2 2 x^{2} - 17 x + 35 > 0

D = 17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35 = 289 - 280 = 9

x = \frac{17 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{17 \pm 3}{4} \begin{matrix} = 5 \\ = \frac{7}{2} \end{matrix}

2 (x - \frac{7}{2}) (x - 5) > 0

Корни 7/2 и 5 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх: 2x² − 17x + 35 > 0 вне корней, то есть x < 7/2 или x > 5.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент второго логарифма положителен.

3 x + 6 > 0

x > - 6

Линейное неравенство: x + 6 > 0 ⟺ x > −6.

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну — берём пересечение решений ①, ② и ③. Границы ОДЗ 7/2, 5 и −6 знак дроби не меняют, лишь обрезают решение: интервал (7/2; 5) выпадает.

ответ

x \in (- 6; - 5) \cup [3; \frac{7}{2}) \cup (5; \frac{11}{2}]

$\frac{\log_{2} (2 x^{2} - 13 x + 20) - 1}{\log_{3} (x + 7)} \leq 0$