Задача 10151010 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Делаем замену

В обоих логарифмах x входит только через x и √x. Замена s = √x (s ≥ 0) превращает аргумент A и основание B в квадратные трёхчлены. Корни у них иррациональные, поэтому раскладывать сразу не будем — посчитаем их там, где понадобятся.

s = \sqrt{x} \geq 0, x = s^{2}

A = 3 x + 2 \sqrt{x} - 2 = 3 s^{2} + 2 s - 2

B = 5 x + 3 \sqrt{x} - 3 = 5 s^{2} + 3 s - 3

шаг 2.Упрощаем обе части

Основание правой части 27 = 3³, поэтому отношение логарифмов равно 1/3 . В знаменателе слева lg B³ = 3·lg B, и вся дробь превращается в (1/3)·log_B A. Сокращаем на 1/3.

\frac{\log_{27} 10}{\log_{3} 10} = \frac{1}{\log_{3} 27} = \frac{1}{3}

\frac{\lg A}{\lg B^{3}} = \frac{\lg A}{3 \lg B} = \frac{1}{3} \log_{B} A

\frac{1}{3} \log_{B} A \geq \frac{1}{3}

\log_{B} A \geq 1

log₂₇10 = log₃10 / log₃27 = log₃10 / 3, значит log₂₇10 / log₃10 = 1/3.

шаг 3.Метод рационализации

Единицу записываем как log_B B — неравенство становится разностью логарифмов. Основание B переменное, поэтому знак задаём методом рационализации : знак log_B A − log_B B совпадает со знаком (B − 1)(A − B). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③ на аргумент и основание.

\log_{B} A - \log_{B} B \geq 0

⟺ {\begin{matrix} (B - 1) (A - B) \geq 0 & 1 \\ 3 s^{2} + 2 s - 2 > 0 & 2 \\ 5 s^{2} + 3 s - 3 > 0, 5 s^{2} + 3 s - 3 \neq 1 & 3 \end{matrix}

Условие ② — аргумент логарифма, ③ — основание: оно положительно и не равно единице (иначе знаменатель исходной дроби обращается в ноль). Условие замены s ≥ 0 на осях показываем выноской.

шаг 4.Неравенство ①

Вычитаем и раскладываем оба множителя ① через дискриминант. Корни трёхчлена B − 1 обозначим s₁ и s₂.

1 (B - 1) (A - B) \geq 0

B - 1 = (5 s^{2} + 3 s - 3) - 1 = 5 s^{2} + 3 s - 4

A - B = (3 s^{2} + 2 s - 2) - (5 s^{2} + 3 s - 3) = - 2 s^{2} - s + 1

2 s^{2} + s - 1 = 0

D = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9

s = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{- 1 \pm 3}{4} \begin{matrix} = \frac{1}{2} \\ = - 1 \end{matrix}

A - B = - 2 (s - \frac{1}{2}) (s + 1)

5 s^{2} + 3 s - 4 = 0

D = 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 4) = 9 + 80 = 89

s_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{89}}{10}, s_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{89}}{10}

- 2 (5 s^{2} + 3 s - 4) (s - \frac{1}{2}) (s + 1) \geq 0

Пробная точка s = 0: −2·(0 + 0 − 4)·(0 − 1/2)·(0 + 1) = −2·(−4)·(−1/2)·1 = −4 < 0 — знак «−» между −1 и 1/2; через простые корни знак чередуется. Все корни закрашены (нестрогое ≥). Выноска от нуля — условие замены s = √x ≥ 0; s₁ ≈ 0,64, s₂ ≈ −1,24. Решение ①: [s₂; −1] ∪ [1/2; s₁].

шаг 5.Ограничения ② и ③

Оба условия — квадратные неравенства с иррациональными корнями; считаем дискриминанты. Корни A обозначим s₃ и s₄, корни B — s₅ и s₆. В ③ добавляется «основание не равно единице» — это уже найденные s₁ и s₂.

2 3 s^{2} + 2 s - 2 > 0

D = 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 4 + 24 = 28

s = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}

s_{3} = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3}, s_{4} = \frac{- 1 - \sqrt{7}}{3}

3 5 s^{2} + 3 s - 3 > 0

D = 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3) = 9 + 60 = 69

s_{5} = \frac{- 3 + \sqrt{69}}{10}, s_{6} = \frac{- 3 - \sqrt{69}}{10}

5 s^{2} + 3 s - 3 \neq 1 \Leftrightarrow 5 s^{2} + 3 s - 4 \neq 0

s \neq s_{1}, s \neq s_{2}

Обе параболы ветвями вверх, поэтому положительны вне своих корней. Точки s₁ и s₂ обращают основание в единицу — они выколоты на оси ③. Численно: s₃ ≈ 0,55, s₄ ≈ −1,22, s₅ ≈ 0,53, s₆ ≈ −1,13. Решение ②: (−∞; s₄) ∪ (s₃; +∞). Решение ③: (−∞; s₂) ∪ (s₂; s₆) ∪ (s₅; s₁) ∪ (s₁; +∞).

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну. Левая ветка ① лежит целиком в отрицательной области и отсекается условием замены s ≥ 0. Справа условие ② жёстче ③ (s₃ > s₅), поэтому левый конец задаёт именно оно.

Левый конец s₃ выколот условием ② (аргумент обращается в ноль), правый s₁ — условием ③ (основание равно единице). Решение в s: (s₃; s₁).

шаг 7.Обратная замена

Возвращаемся к x: функция s = √x возрастает, поэтому границы возводим в квадрат.

s_{3} < \sqrt{x} < s_{1}

s_{3}^{2} = {(\frac{- 1 + \sqrt{7}}{3})}^{2} = \frac{1 - 2 \sqrt{7} + 7}{9} = \frac{8 - 2 \sqrt{7}}{9}

s_{1}^{2} = {(\frac{- 3 + \sqrt{89}}{10})}^{2} = \frac{9 - 6 \sqrt{89} + 89}{100} = \frac{49 - 3 \sqrt{89}}{50}

\frac{8 - 2 \sqrt{7}}{9} < x < \frac{49 - 3 \sqrt{89}}{50}

Оба конца положительны, поэтому возведение в квадрат порядок сохраняет. (8 − 2√7)/9 ≈ 0,30; (49 − 3√89)/50 ≈ 0,41.

условие