условие
шаг 1.Область допустимых значений
Переменная всюду входит через (x − 2): все аргументы логарифмов — чётные степени (x − 2), они положительны при x ≠ 2.
шаг 2.Приводим к основанию 2
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₄ = ½log₂, log_{1/16} = −¼log₂, log₆₄ = ⅙log₂. log₂16 = 4, log₂64 = 6; (x − 2)⁴ и (x − 2)⁶ — чётные степени, log₂|x − 2| = t.
шаг 3.Сводим к квадратному неравенству
Подставляем выражения через t, раскрываем произведение и приводим подобные. Умножаем на 4 (положительное число — знак неравенства сохраняется), чтобы убрать дроби.
(t + 2)(3/2 − t) = −t² − ½t + 3, минус 5/4·t даёт −t² − 7/4·t + 3; перенос 15/2 влево — свободный член −9/2. Множитель 4 > 0 знак неравенства не меняет.
шаг 4.Неравенство верно при любом t
Квадратный трёхчлен −4t² − 7t − 18 имеет отрицательный дискриминант и старший коэффициент −4 < 0 — парабола ветвями вниз целиком под осью, значит он отрицателен при всех t. Неравенство выполнено для любого t, то есть для любого x из ОДЗ.
Решение — вся область допустимых значений: x ≠ 2.