Задача 10151214 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3^{\log_{3}^{2} x} + x^{\log_{3} x} > 2 {\sqrt{3}}^{4}

Логарифм определён при x > 0.

ОДЗ

x > 0

Степень с логарифмом в показателе переписываем как степень тройки: x = 3^{log₃x}, поэтому x^{log₃x} = 3^{log₃²x}. Оба слагаемых одинаковы.

x^{\log_{3} x} = {(3^{\log_{3} x})}^{\log_{3} x} = 3^{\log_{3}^{2} x}

3^{\log_{3}^{2} x} + 3^{\log_{3}^{2} x} = 2 \cdot 3^{\log_{3}^{2} x}

Правая часть: 2√3⁴ = 2·9 = 2·3². Делим на 2 и сравниваем показатели степени тройки.

2 \cdot 3^{\log_{3}^{2} x} > 2 \cdot 3^{2}

3^{\log_{3}^{2} x} > 3^{2}

\log_{3}^{2} x > 2

Степень с основанием 3 > 1 возрастает, поэтому сравниваем показатели: log₃²x > 2.

Обозначим v = log₃x: v² > 2 → v < −√2 или v > √2. Возвращаемся к x: основание 3 > 1, логарифм возрастает — снимаем его.

1) \log_{3} x < - \sqrt{2}

0 < x < 3^{- \sqrt{2}}

2) \log_{3} x > \sqrt{2}

x > 3^{\sqrt{2}}

v² > 2 ⟺ |v| > √2. Нижняя граница 0 случая 1 — из ОДЗ x > 0.

x \in (0; 3^{- \sqrt{2}}) \cup (3^{\sqrt{2}}; + \infty)