условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба аргумента логарифмов положительны. Левый — кубический многочлен; раскладываем группировкой. Множитель (x − 5)² ≥ 0 (петелька на x = 5), поэтому знак произведения задаёт x + 5 > 0. Правый аргумент (x − 5)⁴ — чётная степень, всегда ≥ 0; строгое > 0 даёт лишь x ≠ 5 — эта выколотая точка уже стоит в I условии.
ОДЗ
Группировка: первые два слагаемых дают x²(x − 5), вторые два — −25(x − 5); общий множитель — (x − 5). Остаток x² − 25 = (x − 5)(x + 5) — разность квадратов.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 2.Приводим правую часть к основанию 0,1
Пересчитываем правую часть через основание 0,1 (формула перехода к новому основанию степени) Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
и подставляем разложение из шага 1 в левую часть., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
|x − 5|² = (x − 5)², поэтому модуль уходит после возведения в квадрат.
шаг 3.Снимаем логарифм
Основание логарифма 0,1 < 1, логарифм убываетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— при снятии знак неравенства переворачивается. Переносим всё влево, выносим общий множитель (x − 5)² и упрощаем скобку.шаг 4.Метод интервалов в x
Корень x = 5 — чётной кратности (квадрат) → петелька; выколот по ОДЗ. Корень x = −4 — закрашен (нестрогое ≥). Множитель (x − 5)² ≥ 0, поэтому знак задаёт (x + 4).
С учётом ОДЗ x > −5: решение x ≥ −4, кроме выколотой x = 5. Через петельку x = 5 знак не меняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.