условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба аргумента логарифмов положительны. Левый 4x² + 1 ≥ 1 > 0 при любом x — ограничения не даёт. Правый — квадратный трёхчлен 3x² + 4x + 1; через дискриминант раскладываем на (3x + 1)(x + 1). Метод интервалов прямо на произведении: корни −1 и −1/3 выколоты, знаки чередуются.
ОДЗ
Дискриминант 3x² + 4x + 1: D = 16 − 12 = 4, корни x = (−4 ± 2)/6 = −1/3 и −1. Разложение: 3(x + 1)(x + 1/3) = (x + 1)(3x + 1).
шаг 2.Приводим к основанию 3 и снимаем логарифм
Левый логарифм приводим к основанию 3 (формула перехода к новому основанию степени). Основание логарифма 3 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм с обеих частей, знак сохраняется. Переносим всё в левую часть, выносим общий множитель x.Основание степени 9 = 3².
шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Метод интервалов на x(x − 4) ≥ 0: корни 0 и 4 закрашены (нестрогое ≥). Пересекаем с ОДЗ x < −1 или x > −1/3.
Знак крайнего правого интервала (4; +∞) проверяем пробной точкой x = 5: 5 · 1 = 5 > 0 — плюс. Знаки чередуются через 0 и 4.