условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм log₁₅x определён при x > 0. Аргумент внешнего логарифма должен быть положителен; вводим замену u = log₁₅x и находим, когда он больше нуля.
ОДЗ
Условие x > 1/15 сильнее, чем x > 0, — берём его.
шаг 2.Правую часть — логарифмом с основанием 1/3
Представляем −1 + u как логарифм по основанию 1/3. Основание 1/3 < 1 — логарифм убываетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
, поэтому при снятии знак неравенства меняется.Аргумент положителен по ОДЗ, снятие log_{1/3} корректно; знак ≥ стал ≤.
шаг 3.Сводим к показательному неравенству
Раскрываем: слева 5·5ᵘ, справа выносим 3⁻ᵘ. Умножаем на 3ᵘ и делим на 5.
5ᵘ·3ᵘ = 15ᵘ; делим обе части на 5.
шаг 4.Снимаем показательную и логарифм
Основание 15 > 1 — сравниваем показателиПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
; затем снимаем log₁₅ (тоже растёт) и пересекаем с ОДЗ.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Левая граница 1/15 выколота по ОДЗ, правая 2/3 закрашена (нестрогое ≤).