условие
шаг 1.Метод рационализации
Переносим единицу влево и записываем x − 1,5 = log₄4^{x−1,5}, чтобы числитель стал разностью логарифмов одного основания. Дальше — метод рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
: log_a f − log_a g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ② на аргумент логарифма.Ограничение x ≠ 1,5 отдельной строкой не выписываем — это точка разрыва дроби ①, она отметится выколотой точкой на её оси.
шаг 2.Неравенство ①
Упрощаем ①: множитель (4 − 1) = 3 положителен и знак не меняет — делим на него. Числитель через 2ˣ сворачивается в полный квадрат со знаком минус, поэтому он не положителен при любом x.
Числитель −(2ˣ − 4)²/8 ≤ 0 при любом x, поэтому знак дроби противоположен знаку (x − 1,5): при x < 1,5 дробь положительна, при x > 1,5 — отрицательна.
Нуль числителя 2ˣ = 4, то есть x = 2, — корень чётной кратности: петелька, знак через точку не меняется, а сама точка входит в решение (там дробь равна нулю).
Решение ①: (1,5; +∞).Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 3.Ограничение ②
Условие ② — аргумент логарифма положителен. Основание 2 > 1, показательная функция возрастает, поэтому сравниваем показатели.
Решение ②: (1; +∞).
шаг 4.Пересечение
Сводим оси ① и ② в одну. Ограничение ② слабее: луч x > 1,5 целиком лежит внутри x > 1, поэтому пересечение совпадает с решением ①.
Граница 1,5 выколота: там знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Точка x = 2 внутри луча — петелька, на границы ответа не влияет.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.