условие

(4⋅3x+3−x)3log3⁡(x−1)−log3⁡(2x2−x−1)>1

шаг 1.Область допустимых значений

Оба логарифма определены при положительных аргументах. Основание степени положительно при любом x (сумма положительных слагаемых). Пересечение условий даёт x > 1.

ОДЗ
x−1>0⇒x>1
2x2−x−1>0
2x2−x−1=0
D=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=1+8=9
x=1±94=1±34=1=−12
2(x−1)(x+12)>0
ОДЗ:x>1
I условие1
−∞
+∞
x
+−+II условие1
−12
−∞
+∞
x
ОДЗ1
−∞
+∞
x

Пробная точка x = 0 во втором условии: 2(0 − 1)(0 + 1/2) = −1 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Пересекая x > 1 с (x < −1/2 или x > 1), получаем x > 1: левый луч второго условия целиком отсекается первым.

шаг 2.Оценка основания

Оцениваем основание снизу по неравенству КошиНеравенство Коши (AM-GM)
Для любых неотрицательных чисел среднее арифметическое всегда больше или равно их среднему геометрическому:
· среднее арифметическое a+b2
· среднее геометрическое ab
a+b2≥ab⟺a+b≥2ab
Равенство — только при a = b.
Доказательство:
a+b2−ab=a−2ab+b2=(a−b)22≥0
Квадрат всегда неотрицателен.
Пример. Возьмём два числа 2 и 8.
· среднее арифметическое 2+82=102=5
· среднее геометрическое 2⋅8=16=4
Результат: 5>4.
Популярный приём
взять a=t,b=1t при t>0: тогда ab=t⋅1t=1, поэтому t+1t≥2, равенство при t=1.
 для двух положительных слагаемых: их произведение не зависит от x, поэтому сумма не меньше 4. Значит основание строго больше 1.
4⋅3x+3−x≥24⋅3x⋅3−x
24⋅3x⋅3−x=24=4
4⋅3x+3−x≥4>1

Слагаемые 4·3ˣ и 3^{−x} положительны, их произведение 4·3ˣ·3^{−x} = 4 постоянно, поэтому сумма ≥ 2√4 = 4.

шаг 3.Сводим к показателю

Основание больше 1, поэтому вся степень больше 1 тогда и только тогда, когда показатель B положителенПоказательная функция и знак неравенства
Функция y=ax монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
a > 1: возрастает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
0 < a < 1: убывает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: aA≤aB⟺A≤B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: aA≤aB⟺A≥B (знак переворачивается).
. Показатель сворачиваем в один логарифмПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
: коэффициент 3 вносим внутрь, разность логарифмов — логарифм частного.
(4⋅3x+3−x)B>1⇒B>0
B=3log3⁡(x−1)−log3⁡(2x2−x−1)
=log3⁡(x−1)3−log3⁡(2x2−x−1)
=log3⁡(x−1)3(2x+1)(x−1)
=log3⁡(x−1)22x+1

Сокращаем (x − 1): значение x = 1 исключено ОДЗ, делитель не равен нулю — корень не теряем.

шаг 4.Снимаем логарифм

Условие B > 0 — это log₃(дробь) > 0, а при основании 3 > 1 логарифм положителен, когда сам аргумент больше 1Логарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
. На ОДЗ 2x + 1 > 0, домножаем на него без смены знака.
log3⁡(x−1)22x+1>0⇒(x−1)22x+1>1
(x−1)2>2x+1
x2−2x+1>2x+1
x2−4x>0
x(x−4)>0⇒x<0илиx>4

Основание 3 > 1: log₃t > 0 ⟺ t > 1. Множитель 2x + 1 > 0 на ОДЗ, при домножении знак неравенства сохраняется.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Пересекаем решение x < 0 или x > 4 с ОДЗ x > 1. Ветвь x < 0 не пересекается с ОДЗ, остаётся x > 4.

ОДЗ1
−∞
+∞
x
+−+x(x − 4) > 004
−∞
+∞
x
ответ4
−∞
+∞
x

Ветвь x < 0 лежит вне ОДЗ x > 1 — отбрасывается. Ветвь x > 4 целиком внутри ОДЗ. Точка x = 4 выколота (строгое неравенство).

ответ

x∈(4;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -