условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все логарифмы содержат x − 2, поэтому нужно x − 2 > 0, то есть x > 2.
ОДЗ
шаг 2.Сводим степени к основанию 3
Обозначим u = log₃(x−2). Тогда x − 2 = 3ᵘ, и обе «трудные» степени приводятся к 3 в степени u².
Тождество (x−2)^{log₃(x−2)} = 3^{log₃²(x−2)}: подставили x−2 = 3ᵘ и перемножили показатели.
шаг 3.Замена t = 3^{u²}
Пусть t = 3^{u²} — тогда первая степень равна t, а третья равна t². Переносим всё влево и решаем квадратное неравенство.
t = (15 ± √81)/8 = 3 и 3/4. Парабола ветвями вверх, ≤ 0 между корнями.
шаг 4.Учитываем t ≥ 1
Показатель u² ≥ 0, поэтому t = 3^{u²} ≥ 1. Вместе с t ≤ 3 это даёт 1 ≤ t ≤ 3. Основание 3 > 1, функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— переходим к показателю.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Нижняя граница t ≥ 3/4 из квадратного неравенства слабее, чем t ≥ 1; работает именно t ≥ 1.
шаг 5.Возвращаемся к x
Из u² ≤ 1 следует −1 ≤ u ≤ 1. Подставляем u = log₃(x−2); основание 3 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.Прибавляем 2 ко всем частям: 1/3 + 2 = 7/3, 3 + 2 = 5. Обе границы входят (нестрогое неравенство).