Задача 10151216 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{81^{x} + 2 \cdot 25^{x \log_{5} 3} - 5}{{(4 x - 1)}^{2}} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не равен нулю: (4x − 1)² ≠ 0.

ОДЗ

{(4 x - 1)}^{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{4}

шаг 2.Упрощаем степень в числителе

Среднее слагаемое 25^{x·log₅3} приводим к степени тройки: 25 = 5², а 5^{log₅3} = 3. Получается 9ˣ. Также 81ˣ = (9ˣ)².

25^{x \log_{5} 3} = 5^{2 x \log_{5} 3} = {(5^{\log_{5} 3})}^{2 x} = 3^{2 x} = 9^{x}

81^{x} = {(9^{x})}^{2}

5^{log₅3} = 3 по основному логарифмическому тождеству; 81 = 9².

шаг 3.Знаменатель неотрицателен

Квадрат (4x − 1)² > 0 при всех x из ОДЗ, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя. Остаётся решить «числитель ≥ 0».

\frac{{(9^{x})}^{2} + 2 \cdot 9^{x} - 5}{{(4 x - 1)}^{2}} \geq 0

{(9^{x})}^{2} + 2 \cdot 9^{x} - 5 \geq 0

(4x − 1)² > 0 на ОДЗ, деление на положительную величину знак неравенства не меняет.

шаг 4.Замена u = 9ˣ

Обозначим u = 9ˣ, причём u > 0. Числитель — квадратный трёхчлен относительно u. Находим корни и берём ту часть, где трёхчлен неотрицателен.

u = 9^{x} > 0 : u^{2} + 2 u - 5 \geq 0

D = 2^{2} - 4 \cdot (- 5) = 4 + 20 = 24

u = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2} = - 1 \pm \sqrt{6}

u \leq - 1 - \sqrt{6} или u \geq - 1 + \sqrt{6}

Корень −1 − √6 < 0 не подходит (u > 0), остаётся u ≥ √6 − 1.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x: 9ˣ ≥ √6 − 1. Основание степени 9 > 1, функция 9ˣ возрастает — логарифмируем, сохраняя знак. Из решения выкалываем точку x = 1/4 по ОДЗ.

9^{x} \geq \sqrt{6} - 1

x \geq \log_{9} (\sqrt{6} - 1)

log₉(√6 − 1) ≈ 0,17 < 1/4 = 0,25 — точка разрыва 1/4 попадает внутрь решения и выкалывается.

ответ

x \in [\log_{9} (\sqrt{6} - 1); \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; + \infty)