условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент первого логарифма положителен, а под вторым логарифмом стоит утроенный полный квадрат — он положителен всюду, кроме точки, где скобка обращается в ноль. Пересекаем.
ОДЗ
шаг 2.Упрощаем второй логарифм
Под вторым логарифмом — полный квадрат: 4ˣ − 10·2ˣ + 25 = (2ˣ − 5)². Переходим от основания √3 к основанию 3 и раскладываем логарифм произведенияПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log_{√3}Y = 2log₃Y, так как √3 = 3^{1/2}; log₃3 = 1; на ОДЗ 2ˣ − 5 > 0, поэтому log₃(2ˣ − 5)² = 2log₃(2ˣ − 5) без модуля.
шаг 3.Замена t = log₃(2ˣ − 5)
Обозначаем t = log₃(2ˣ − 5); величина t пробегает всю ось. Неравенство превращается в квадратное относительно t.
Корни t² − 4t + 3 устно по Виета: произведение 3, сумма 4 → 1 и 3. Парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней: t ≤ 1 или t ≥ 3.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаемся к x. Логарифм по основанию 3 > 1 возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
, как и показательная 2ˣПоказательная функция и знак неравенстваФункция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знаки сохраняются. Условие 2ˣ − 5 > 0 уже даёт ОДЗ.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
8 = 2³, 32 = 2⁵; основание 2 > 1, поэтому 5 < 2ˣ ≤ 8 даёт log₂5 < x ≤ 3, а 2ˣ ≥ 32 даёт x ≥ 5.