условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Множитель x² + 2 > 0 знак не меняет, поэтому ОДЗ определяется остальными множителями.
ОДЗ
По теореме Виета для x² + 3x − 4 = 0: сумма корней должна равняться −3, произведение — −4. Подбираем 1 и −4, отсюда x² + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1). Пересечение трёх условий даёт x > 1: левый луч второго условия отсекается требованием x > 0.
шаг 2.Сворачиваем правую часть
Правую часть собираем в один логарифм: 1 = log₂2 Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Основание 2 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— сравниваем аргументы.шаг 3.Сокращаем и упрощаем
Раскладываем квадратный трёхчлен на множители, делим на (x − 1) > 0 и умножаем на x > 0.
После деления на (x − 1) и умножения на x остаётся x³ + 2x ≤ 2x + 8, то есть x³ ≤ 8.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Из x³ ≤ 8 извлекаем кубический корень и пересекаем с ОДЗ x > 1.
Граница x = 1 выколота по ОДЗ; x = 2 закрашена (нестрогое ≤).